49600字硕士毕业论文拓扑优化中水平集方法的连续性研究

论文类型：硕士毕业论文

论文字数：49600字

论点：拓扑,方法,水平

论文概述：

摘要 拓扑优化越来越广泛的应用于结构设计之中。本文介绍水平集方法这一较为新颖的结构体拓扑优化方法。水平集方法相对于传统优化方法具有处理拓扑变换自然，无网格依赖

论文正文：

拓扑优化中水平集方法的连续性研究

简介:1987年，塞提亚在研究这个问题时用逆风格式数值方法求解方程，推导出界面的变化，进而得到界面运动的弱解，指出他也首次给出了求解双曲守恒方程的某些熵条件的定义。塞提亚的一系列工作为水平集方法奠定了坚实的理论基础。本论文由本站硕士论文中心组织。

第1章导言
1.1结构拓扑优化简介
1.1.1优化设计理论发展简史
结构设计在人类发展过程中发挥着重要作用，几乎涉及人类活动的所有领域。在结构设计中，如何尽可能高效地使用材料一直是人类面临的问题。经过长期实践和探索，提出了结构优化设计的概念。所谓结构优化设计是通过考虑各种约束来实现一个或多个设计目标的最佳实现过程。
最佳设计不同于十种传统设计。传统设计的基本过程如下:首先，设计工程师根据自己的理论知识和实际工程设计经验，针对实际工程需要，提出概念设计，具体体现在结构类型和形式的选择、材料的选择和初始设计方案的给出；其次，对初始方案的结构进行了分析，并根据分析结果对刚度、强度、稳定性和振动频率进行了校核。然后，检查初始计划是否满足实际项目各方面的要求。如果不符合要求，有针对性地修改初始计划，然后重新分析和检查结构，直到符合要求。传统的设计方法严重依赖十名设计工程师的经验。初始设计方案的质量非常重要。该方法的重分析和重检验过程非常繁重，往往难以获得理想的设计结果。
优化设计方法不同于传统设计方法。优化设计首先根据给定的结构类型、形式、工况、材料和规范的各种约束条件(如结构刚度、强度、稳定性、振动频率和结构质量等)，提出优化数学模型(包括目标函数、约束条件和设计变量)。)；其次，根据优化设计的理论和方法，求解优化模型，得到设计方案。然后对设计方案进行结构分析、再优化、再分析和重复，直至收敛。优化设计方法可以使材料分布达到十种理想状态。这是结构设计的高级方法[[2]
结构优化设计在开发过程中先后经历了尺寸优化、形状优化和拓扑优化两个阶段，如图1-1所示。早期的结构优化主要是尺寸优化，即初始结构的基本形状不变，而结构的一些尺寸改变以达到优化目的，即设计域的基本形状在尺寸优化过程中是相同的，因此其优化效果有很大的局限性。此后，随着结构边界优化问题的提出，形状优化方法[3]应运而生。形状优化设计允许改变初始结构的内部和外部边界。通过移动设计领域的边界来寻找合理的材料排列是一种直接而简洁的方法。虽然形状优化可以改变初始设计域的基本形状，但仍然不能改变设计域的初始拓扑，因此不能使材料布局更加理想。为了进一步提高结构设计中材料的使用效率，弥补以往所有优化方法都不能改变设计领域初始拓扑的局限性，提出了拓扑优化的概念。拓扑优化设计不仅允许改变设计域的边界位置，还允许在设计域中出现新的空孔，即允许改变初始设计的拓扑。拓扑优化问题可视为设计领域中的材料分配问题，[6】。
结构拓扑优化设计的概念可以追溯到1904年1.汉斯·埃舍尔，尼尔斯·奥尔霍夫。连续体结构的拓扑优化。应用机械修订版第54卷，第4期，2001年7月。
2。结构起源的一些方面，结构优化，1992:6469
3。形状优化导论:形状敏感性分析。斯普林格-弗拉格，纽约，1992年，
4。均匀化和结构拓扑优化。斯普林格-弗拉格，伦敦，1999年，
5。程庚..桁架拓扑优化的几个方面？结构优化，1995，10(2): 173-179
6。bendsoe m.p .最佳形状设计作为材料分配问题。1989年:193202
7。林可唯通用汽车有限公司框架结构的经济性。哲学杂志，系列，1904，6(8):589-597。
8。固体弹性板优化设计的研究。《国际固体与结构杂志》，1981年，17:305-323，
9。轴对称板优化设计的正则化公式。《国际固体与结构杂志》，1982，18:153-170，
10。关于杆和板优化设计中一些问题解的存在性。最优化理论与应用杂志，1984，42:247-281
11。变分问题的最优设计和松弛。《纯数学和应用数学中的交流》，1986年，第一部分，39:1-25，第二部分，39:139-182，第二部分，39:353-377
12.muratf，tartar l .最优性条件和均匀化，非线性变分问题。皮特曼出版计划，波士顿，1985年[/比尔/] 13。庄春刚。基于十水平集的多材料结构拓扑优化设计方法及其应用。上海交通大学博士论文，2007
14。梅玉林。拓扑优化的水平集方法及其在刚性结构、柔性结构和材料设计中的应用。大连理工大学博士论文，2004林可唯的分析框架结构设计理论。当时，拓扑优化理论只能使用十种单一的工况，不能解决实际工程问题。该理论最初是为离散结构设计而提出的。1981年，程耿东和奥尔霍夫在研究变厚度板的最大刚度优化设计过程中，集中研究了连续体结构拓扑优化的概念，连续体结构拓扑优化理论得到了极大的发展。在接下来的几年里，卢瑞·科恩不是第二个斯特朗，缪拉不是第二个鞑靼，等等。在连续体拓扑优化理论方面取得了一系列的研究进展。然而，十连续体拓扑优化模型难以描述，优化过程中的数值计算量很大，极大地制约了其早期的整体发展。直到计算机技术成熟和大规模数值计算成为可能，各种成熟的拓扑优化方法相继出现。代表性方法包括均匀化法、密度罚函数法、进化结构优化法、鼓泡法和水平集法。

1.1.2在水平集方法出现之前，
已经开发了几种重要的拓扑优化方法，并逐步应用于十种实际工程设计拓扑优化方法，包括均匀化方法、密度罚方法、进化结构优化方法、冒泡方法等。在本节中，我们将逐一简要介绍这些方法。
同质化方法[的“a’7”是拓扑优化理论中一种划时代的方法，最早由本梭(Bendsoe not II Kikuchi)l8)于1988年提出。该方法的提出被认为是连续体结构拓扑优化研究的一个全新阶段的开始。均匀化方法的主要思想是设计区域的材料由多孔微结构组成，如图1-2所示，其中A和B代表微结构的尺寸参数，“代表微结构的位置角参数；设计区域的局部材料特征由局部微观结构特征(孔尺寸和位置)决定。通常以材料微观结构的体积比和弹性张量为设计变量，通过设计孔的数量、形状和尺寸来实现结构的材料设计。均匀化方法可以应用于任何有序或无序的微结构，而无需任何几何假设。从数学角度来看，这是一个极限理论。它有完整的数学理论基础，目标拓扑优化解具有存在性和唯一性。另一方面，均化方法需要引入大量的设计变量来模拟微结构单一化器的尺寸和微孔的方向，并且需要计算每个单一化器的均化方程总和！材料常数的计算量很大，一些改进的算法也难以提高计算速度和获得全局最优解。此外，均质化方法实际上是一种理论材料设计，受到十种材料加工条件等的限制。其计算结果不能直接应用于十个工程实践。尽管存在上述各种缺点，均匀化方法在拓扑优化理论中仍然占有重要地位，因为它首先可以计算拓扑优化中的理论最优解，其次，许多工程应用拓扑优化方法都是在此基础上发展起来的。
密度罚函数法密度罚函数法是均匀化方法的发展。该方法以离散单边界材料的常数作为设计变量，最终的离散优化问题是0和1的整数规划问题。然而，这种优化方法的解决方案是病态的[·[21]。为了解决解的病态问题，必须放宽设计变量，用连续设计变量代替离散设计变量0和1的整数规划问题。设计变量可以选择为单边界密度户或单边界弹性模量户，如图1-3所示。这种松弛导致中间密度问题可以通过使用惩罚项来消除。方法是利用单密度的指数函数模拟材料特性。最后，如果单个密度值小于10，则可以使用值0代替10，并且可以使用值1代替。这种理论下的中间密度材料很难在物理上得到更好的解释，但是在1999年本梭和西格蒙德指出，在许多情况下，这种理论材料的插值模型可以通过使用满足某些条件的微结构来模拟[22]。2001年Rietz 23]指出SIMP方法可以保证一定约束下解的存在性，马丁内斯在2004年给出了密度罚方法的收敛定理。应注意密度罚方法和均匀化方法的区别。密度惩罚方法中的中间密度只是一个优化工具。最终结果仍然是板材的0，1分布均匀化方法接受中间密度作为最终设计结果，并通过微观结构来实现。
进化结构优化(ESO)是谢一民和史蒂夫在1993年首次提出的。这种方法的基本思想非常简单，即逐步去除该区域中不必要或低效的材料，并逐渐进化以实现优化过程。该方法可以利用现有的有限边界分析软件进行应力分析，然后通过数值迭代实现优化算法，具有很好的通用性。然而，这种方法的理论基础还不十分完备，可以很好处理的问题类型相对单一，主要是框架和铰链问题的分析，还有十个结构优化问题的处理有待发展。
气泡法(气泡法[a})是科别列夫埃舍尔在1994年提出的，而不是第二代舒马赫。其直接目的是解决拓扑固定在形状优化中的局限性。其基本思想是用10个孔空扩展优化。当形状优化不能进一步改善设计问题时，在结构中插入小孔，然后通过形状优化的方法改变孔的形状和尺寸。孔的起始位置由特定特征函数的最小点决定。具体方法在文件“27”中详细讨论。事实上，这个特征函数是结构的拓扑导数。

1.2水平集方法的起源和发展
一般意义上的水平集方法首次应用于运动界面跟踪的研究。典型的运动界面跟踪问题是波的传播。在这个问题中，为了跟踪波面的传播，需要求解相应的双曲守恒方程。1987年，塞提亚在研究这个问题时使用逆风格式数值方法来求解方程。在此基础上，我们推导了界面的变化，进而得到了界面运动的弱解，并首次给出了求解双曲守恒方程必须满足的熵条件的定义。塞提亚的一系列工作为水平集方法奠定了坚实的理论基础。1988年，奥什和塞提亚首次正式提出水平集方法的概念。给出了水平集方程的定义及其稳定的高精度数值解。水平集方法的基本思想可以表示为在10-low一维几何界面上较高一维函数的水平集。例如，二维曲线可以表示为二维表面函数的水平集。同样，它也可以扩展到更高维的情况。之后，界面的求解过程可以转化为更高维的一维函数，即水平集函数的求解过程。由于水平集函数可以选择为简单的标量函数，求解过程可以在固定网格上进行，水平集方法可以自然处理界面断裂和融合等拓扑变化。
水平集方程本质上是一个典型的哈密顿-雅可比方程。^ fi1水平集方法的核心是水平集方程的求解。因此，哈密顿-雅可比方程的求解是水平集方法发展中不可避免的重要问题。克兰德尔三狮建立了汉密尔顿-雅可比方程的粘性解理论，通过计算机模拟可以精确地找到偏微分方程如水平集方程的连续唯一解。粘性解理论是求解哈密顿-雅可比方程的基础理论。在传统的哈密顿-雅可比方程求解方法中，数值计算是在整个计算域中进行的，但是在水平集方法中，这是不必要的，因为我们只关心零水平集邻域中水平集函数值。如果计算整个计算域中的值，则计算量非常大，相对效率非常低。为了减少水平集方法的计算量，提高数值算法的效率，Chopp在1993年提出了窄带水平集的概念，随后许多人对这一概念进行了进一步的研究，其中阿达斯坦(Adalstein)和塞提亚(Sethian)取得了显著的成果。他们在199_5年提出了具体的窄带水平集算法[莫]。该算法的突出优点是求解水平集方程效率高，因为它大大减少了数值计算的范围，并且其数值计算在靠近材料界面(即零水平集的邻域)的窄带内进行。水平集方法中需要注意的另一个问题是零水平集捕获精度的问题。零水平集捕获精度不仅与数值计算本身的精度有关，还与水平集函数的梯度有关。获取高捕捉精度要求水平集函数的梯度值适中，既不太大也不太小。因此，Chopp在1993年[牦牛中也提出了水平集函数符号距离重新初始化的概念，这意味着水平集函数在界面跟踪过程中始终保持为符号距离函数，其函数面变化率适中，便于零水平集的获取。为了实现水平集函数的距离初始化，1994年，苏斯曼·斯梅雷卡没有提出一种偏微分方程求解方法。其基本思想是先构造一个偏微分方程，然后通过迭代求解该偏微分方程来重新初始化符号距离。该方法可以始终保持水平集函数作为符号距离函数，目的是构造整个计算域的符号距离。这种方法的关键是得到十个偏微分方程的稳态解。为了更有效地获得稳态解，塞提亚在1996年构造了一种求解偏微分方程的新方法，即后来的快速步进法。
在实际的界面跟踪问题中，界面的速度通常只在界面边界上定义，水平集函数本身在整个计算域中取值。因此，在求解水平集方程时，有必要将界面边界的速度扩展到整个计算域，至少在界面附近。为了实现水平集方程的界面速度展开，陈和梅里曼等。1997年首次提出用偏微分方程求解的算法，并于1999年应用于Fedkiw的多相流界面跟踪计算。水平集方法的一个重要部分，符号距离初始化和速度扩展，可以通过求解偏微分方程来实现。因此，彭和梅里曼在1999年对此进行了总结和发展，并提出了一种基本十偏微分方程的快速局部水平集算法，进一步改进了水平集方法[36]。随着进一步的研究，Sus sman和Fatemi在1999年指出，当使用偏微分方程方法重新初始化符号距离时，如果数值迭代次数太大，相应的零水平集位置可能会改变，这是水平集方程求解中不希望出现的情况。同时，他们提出可以通过增加体积约束来避免这种情况。
水平集方法已被证明对界面跟踪问题有很好的效果，一般意义上的连续结构拓扑优化也可视为界面跟踪问题。特别是当最终设计结果中没有使用中间密度时，拓扑优化结果实际上取决于十个结构的内部和外部边界。只要能够跟踪结构的内外边界，就能得到实际效果的拓扑优化结果。[/比尔/]水平集方法于2000年首次应用于十种结构的拓扑优化。Sethian和Wiegmann首先完成了这项工作。当他们将水平集方法引入结构拓扑优化时，他们最初试图设计具有等应力的结构。随后，他们研究并总结了一种高边界分辨率的刚性结构拓扑优化方法。一方面，根据结构应力分布，该方法给出了带有孔洞的初始拓扑，并通过孔洞的融合或移动来改变结构拓扑。另一方面，根据边界处的应力确定边界的移动速度，并应用水平集模型跟踪结构边界的移动和拓扑变化。2001年，奥什和萨莫萨也开始研究如何将水平集方法应用于十个拓扑优化领域，并取得了实质性的成果。他们通过一个由多相材料组成的鼓膜优化设计的例子证明了这种方法的有效性。值得指出的是，在这个例子中，为了获得水平集的运动速度场，他们采用了泛函变分技术。在水平集方法的后期研究工作中，为了获得水平集的运动速度场，人们提出了一种新的方法。2003年，香港中文大学的阿莱尔、朱夫、托德、4o 4O味一、黄图·[等。发展了灵敏度分析技术，在此基础上获得了水平集运动的速度场，使得拓扑优化中的水平集方法得到了新的发展。
目前，水平集方法已被证明是一种有效的拓扑优化方法。虽然目前它能处理的拓扑优化问题相对简单，但水平集方法比十种传统的拓扑优化方法(我们将在下一节讨论)具有突出的优势。水平集方法吸引了越来越多的人进行研究。为了提高该方法的通用性和计算效率，仍在提出新的和改进的方法。总之，水平集方法是拓扑优化的一个新的发展方向，十年来发展迅猛。

参考

[7]

摘要4-5
摘要5
第1章引言8-16
1.1结构拓扑优化简介8-12
1.1.1优化设计理论发展简史8-9
1.1.2几种重要的拓扑优化方法9-12
1.2水平集方法12-14
1.3课题14-15 [/br研究的背景和意义 2.1水平集方法16-19
2.1.1材料界面演化一般表达式16-17
2.1.2材料界面演化水平集表达式17-19
2.2水平集方程解19-21
2 . 2 . 1h-j方程数值解19
2.2.2初始值设定和符号距离初始化19-20
2.2.3速度扩展 3.1结构拓扑优化的一般数学表达式22-23[/溴/] 3.2结构拓扑优化的水平集表达式23-25[/溴/] 3.2.1拓扑形状的水平集表达式23-24[/溴/] 3.2.2优化过程的水平集表达式24-25[/溴/] 3.3拓扑优化水平集方程的解25-29[/溴/] 3.3.1灵敏度分析25-27[/溴/] 3.3.2确定 第四章拓扑优化水平集方法的改进30-39
4.1经典水平集方法30-31
4.2拓扑导数理论31-35
4.2.1拓扑导数的定义32-33
4.2.2拓扑导数的计算33-35 [/BR/] 4.3拓扑导数理论对水平集方法35-36 [/BR/] 4.4改进水平集算法36-38 [ 5.2经典水平集算法的局限性证明45-53
5.3改进水平集算法的示例53-56
5.4摘要56-57
结论57-58
参考58-62
确认62

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