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38956字硕士课程论文一些微分形式算子的范数不等式

论文类型:硕士课程论文
论文字数:38956字
论点:算子,微分,不等式
论文概述:

本文是数学论文,本文的主要研究对象是微分形式及微分形式上的算子。算子理论作为调和分析的重要内容一直被广大学者所关注,在众多领域也有着广泛地应用。

论文正文:

第一章引言
1.1论文的研究背景和意义
本文的主要研究对象是微分形式和微分形式的算子。算子理论作为调和分析的一个重要组成部分,已经受到许多学者的关注,并在许多领域得到了广泛的应用。人们在研究调和分析的前身傅立叶分析时发现了算子的作用。通过研究各种算子的性质,里斯、哈代和利特伍德等人得到了傅立叶级数的收敛性。研究谐波分析的发展具有重要意义。它是解决实变理论和勒贝格积分微分理论核心问题的重要工具。另一方面,由于哈迪-利特伍德最大值算子在平均值意义上获得最大值的特性,它可以用作与许多其他类型算子连接的控制函数。有关最大函数理论的更多信息,请参考参考文献[2–17]。估计Lp(Rn)上哈迪-利特伍德极大算子弱不等式的主要方法之一是C-Z分解法。这种分析方法将一个函数分解成一部分具有“好”属性的函数和一部分具有“坏”属性的函数。这是在一维情况下发展起来的Riesz的“太阳升起引理”的一种真实变分方法。近年来,它被广泛应用于算子的连续性。本文第二章的证明在很大程度上依赖于这种分解方法。20世纪50年代奇异积分理论的出现,特别是C-Z奇异积分理论的引入,为现代调和分析的发展和应用带来了新的动力,如[18–21]所述。除了算子的有界性,调和分析的另一个核心内容是函数间的研究空。哈代空之间的真实变量理论形成于20世纪70年代。参见参考文献[24–26]。约翰和尼伦伯格首先提出了有界平均振动空的概念,它在椭圆偏微分方程解的研究中起着重要作用。然后费夫曼和斯坦发现有界平均振荡空是哈代空之间的共轭空。提出的费夫曼-斯坦分解揭示了有界平均振荡空与谐波分析之间的内在关系。因此,对有界平均振荡空的研究成为谐波分析理论不可或缺的一部分。例如,有界平均振荡空之间的BMO是哈代空之间的H1共轭空。算子T: H1→ L1的有界性可以通过证明其共轭算子T: L∞→ BMO的有界性来研究;有界平均振荡空的另一个经典应用是,当1 < p 时,许多经典算子是从Lp空到Lp空的有界算子,但是当p = ∞时,许多算子的有界性可能无法建立。相反,可以获得从L∑空到有界平均振荡空的算子的有界性。相关理论可参考[27–37]。
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1.2国内外研究现状
自从卡坦·[50]提出微分形式以来,学者们一直对此给予密切关注,尤其是近年来,国内外在微分形式方程解的正则性、微分形式算子和复合算子不等式方面取得了丰富的成果。有关微分形式的相关结果,请参考[51–56]。通过格林函数方法,微分方程边值问题的解可以用格林函数的积分形式表示,从而将微分方程边值问题转化为积分方程问题。随后,人们将格林函数推广为满足一定条件的积分算子的核函数,称为广义格林函数。与经典的格林函数法(只适用于解非唯一的微分方程)相比,广义格林函数法可以处理一些不具有唯一解性质的微分方程。例如,文献[57]给出了解不是唯一的偏微分方程的广义格林函数的定义。1964年,Wyler在文献[58]中抽象地总结了广义格林函数相关积分算子的性质,并提出了格林算子的概念。奇异积分算子的研究起源于卡尔德龙和Zygmund。1952年,卡尔德龙和齐格蒙德在[22]号文件中提出了奇异积分算子的概念。奇异积分算子继承了希尔伯特变换的一些特征,如平移的交换性和伸缩的交换性。当1 < p < ∞ Riesz用复函数理论证明希尔伯特变换的Lp有界性时,该方法不再适用于一般奇异积分算子。在参考文献[22中,卡尔德龙和齐格孟德发展了贝西科维奇和蒂奇马什的方法来证明希尔伯特变换弱-(1,1)不等式,提出了著名的C-Z分解,然后用马辛基维茨插值定理证明了奇异积分算子的Lp有界性。
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第二章奇异积分算子的一些范数不等式
本章主要研究微分形式的奇异积分算子和相关复合算子的范数不等式。主要内容分为两部分:第一部分研究了哈迪-利特伍德最大算子和夏普最大算子的范数估计,包括Lp范数、BMO范数和李普希茨范数;第二部分定义了微分形式的多线性卡尔德龙-Zygmund算子,给出了多线性卡尔德龙-Zygmund算子端点的弱有界性和多线性卡尔德龙-Zygmund算子作用于A-调和张量的Lp范数不等式。
2.1复合运算符msp的范数比较
在参考文献[74]中,将势算子引入微分形式,得到了势算子P的加权有界性。基于这一结果,本节主要研究微分形式的复合算子M s P和Ms P的Lp范数、BMO范数和Lipschitz范数的比较定理。首先,给出了复合算子中势算子p、哈代-利特伍德最大算子M s和夏普最大算子Ms的定义。
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2.2多线性算子的范数不等式
在前一节中,给出了满足定义2.1的奇异积分算子的相关范数不等式。本节将调和分析中的多线性卡尔德龙-Zygmund算子应用于微分形式,给出了微分形式的多线性卡尔德龙-Zygmund算子的端点弱有界性和Lp范数估计。本章首先利用微分形式同伦算子的相关性质,结合势算子的加权有界性,给出了复合算子Ms P和M s P的Lp范数有界性,并证明了复合算子Lp范数、BMO范数和Lipschitz范数的比较定理。然后,定义了微分形式的多线性卡尔德龙-兹格蒙德算子。特别地,当多线性卡尔德龙-Zygmund算子中的指数m取1时,它退化为第一部分研究的势算子p。本章利用微分形式和实变量方法如卡尔德龙-Zygmund分解的相关性质给出了多线性卡尔德龙-Zygmund算子端点的弱有界性,为进一步获得多线性卡尔德龙-Zygmund算子的强有界性提供了支持。对于A-调和张量,本章还给出了多线性卡尔德龙-兹格蒙德算子的Lp范数估计。特别地,在外部微分作用下,多线性卡尔德龙-兹格蒙德算子的Lp范数的上界可以从这个定理中得到。
……
第三章Hodge-Dirac算子相关范数不等式……38
3.1标记和准备........38
3.2复合算子m s d g的范数不等式......39
3.2.1复合算子和庞加莱不等式的范数有界性.........39
3.2.2复合算子的李普希茨和BMO范数不等式……42
3.2.3复合算子的加权范数不等式及其应用……45
3.3复合算子的广义李普希茨和BMO范数不等式.........54
3.4本章总结.........57
第四章lφ-lips chitz范数和lφ-BMO范数的不等式.........58
4.1标记和准备........58
4.2同伦算子的Lφ-BMO范数、Lφ-李普希茨范数和Lφ范数的比较定理........60
4.3微分形式的Lφ-BMO范数和Lφ-李普希茨范数的不等式........66
4.4本章总结.........72
第四章lφ-lips chitz范数和lφ-BMO范数的不等式
奥利茨空作为勒贝格空之间Lp的自然延伸,自提出以来得到了迅速发展和广泛应用。奥利茨空在概率论、统计学、位势理论、偏微分方程等方面有着重要的应用。Orlicz-Hardy 空在处理许多分析问题时,可以作为Orlicz 空的良好替代品,近年来受到广泛关注。奥利茨-哈代空之间的共轭空研究可以追溯到詹森的工作。他扩展了哈代空和BMO 空之间的经典理论,建立了奥利茨-哈代空和奥利茨-BMO 空之间的共轭关系。这些理论的证明与Rn上的调和分析和拉普拉斯算子性质密切相关。近年来,丁磊等学者也将Orlicz函数理论推广到微分形式,并研究了微分形式的算子或复合算子的Orlicz范数性质[115–118]。受此启发,本章主要研究微分形式的Lφ-李普希茨范数和Lφ-BMO范数估计。
4.1标记和准备
摘要主要介绍奥利茨函数的一些基本概念以及微分形式的Lφ-李普希茨范数和Lφ-BMO范数的定义。本章给出了微分形式的Lφ-李普希茨范数和Lφ-BMO范数的定义。对于同伦算子T,在φ取G(p,q,c)-类的条件下,得到了Lφ-李普希茨范数、Lφ-BMO范数和Lφ范数比较定理。在定义的G(p,q,c)-类中的指标满足一定条件后,对于一般微分形式φ(|u|) ∈ L1loc(),得到了T u的Lφ-BMO范数估计。同时,推广了共轭α-调和张量的比较定理,给出了共轭α-调和张量的Lφ-BMO范数比较估计。最后,针对一个特殊的杨氏函数,微分形式的Lφ-李普希茨范数和Lφ-BMO范数由微分形式的Lp范数控制。
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结论
微分形式算子理论作为近年来发展起来的前沿方向,由于起步较晚,工具较少,仍不完善。仍然有许多基本的和有意义的问题需要解决。特别是函数是特殊的微分形式,许多关于函数的方法不能应用于微分形式理论的研究。因此,对于调和分析和偏微分方程中的一些经典算子,给出了作用于微分形式的相关算子的有界性估计和经典不等式。扩展了李普希茨范数和BMO范数的经典定义,得到了更一般范数下相关算子的范数估计。获得的主要创新如下:
1.利用势算子的加权有界性,证明了复算子的强有界性以及李普希茨范数和BMO范数的比较定理。摘要:利用同伦算子和格林算子相关引理,证明了复合算子D G在夏普极大算子下的有界性以及李普希茨范数和BMO范数的比较定理,并建立了相应的加权α(α,β,γ)和加权Ar,λ()对偶范数不等式。应用所得到的复合算子的范数不等式,给出了复合算子作用下一些具体微分形式如K-拟正则映射的范数估计。
2.将多线性卡尔德龙-兹格蒙德算子引入微分形式。摘要:通过微分形式、切比雪夫不等式和卡尔德龙-兹格蒙德分解的运算性质给出了多线性算子端点的弱有界性,为证明多线性算子的强有界性提供了强有力的支持。定义了球上的多线性卡尔德龙-兹格蒙德算子。对于a-调和张量,给出了uub型多线性算子的Lp范数估计。上述结论可用于讨论多线性算子相关复合算子的范数不等式。
3.当s取1时,BMOs范数和locLipsα范数是经典的B-MO范数和Lipschitz范数。在新范数下,建立了复合算子dkgk和Dk+1 Gk的BMOs范数和locLipsα范数比较定理。
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参考文献(省略)